【YaBoSports】：初中数学培优七年级下第十五讲配方法纠正网上一些错误解答

来源：yabo 编辑：U体育所属栏目：亚博体育时间：2019-01-03 01:12:49

本文由【YaBoSports】2019年01月03日转载报道：

转载自百家号作者：中学数学难点剖析

二、重点难点分析

把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法。

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段。配方法的实质在于改变后的式子具有非负性，是挖掘隐含条件的有力工具。配方法在代数式的求值、解方程、最值问题、讨论不等关系以及以后的函数问题等方面有广泛的应用。

对于配方法关键是掌握完全平方公式，即利用a2 2ab+b2=(ab)2、特别注意。很多时候公式中的a、b会是单项式、多项式、乘方等等，这时我们要能及时地发现。

与配方法有关的基本等式:

(1)a22ab+b2=(ab)2;

(2)a2+b2+c22ab2bc2ac=(abc)2;

(3) a2+b2+c2abbcac=[(ab)2+(bc)2+(ac)2];

(4)ax2+bx+c=a(x+)2+.

三、例题精选

例1 将多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则添加单项式的方法共有多少种?

解析：这是一道很有意思的题目，开放性很强，很活。题目虽然简单，但是很有意义。

可以加上的单项式：4x,-4x,4x4,-1,-4x2.

例2 阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a22ab+b2=(ab)2;.

例如：(x-l)2+3、(x-2)2+2x、(x-2)2+是x2-2x+4的三种不同形式的配方(即"余项"分别是常数项、一次项、二次项)。

请根据阅读材料解决下列问题,

(1)比照上面的例子,写出了x2一4x+2的三种不同形式的配方;

(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);

(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

解析：（1）原式=(x-2)2-2=(x+)2-(4+2=2(x-1)2-x2;

（2）原式=(a+)2+=(a+b)2-ab=(2+这个题常见问题：把a、b当做不同的变量分两次配方，而不是把b当做常数。

（3）当未知数数量大于方程数量，基本隐藏着条件，此时采用配方法，可以挖掘隐藏条件。对于多元的方程，按顺序逐元配方，比如此题：第一步，把a当做未知数，b、c都当成已知常数配方；第二步，把c当做常数，b当成未知数进行配方；第三步把c当做未知数配方。这样，即使有再多的未知数，再复杂的题目，也可以一步步化解。

方程左边= a2 -ab+b2+c2-3b-2c+4(把b、c当做常数，改写方程左边；把a的一次项整理到一起，本题只有-ab,下同)

=(a-)2+-3b+c2-2c+4(a完成配方，对b整理)

=(a-)2+（b-2）2+c2-2c+1(完成b配方)

=(a-)2+（b-2）2+(c-1)2

由题意：c=1，b=2，a=1

A+b+c=4

例3 已知x、z、y, 满足,试求x,y,z为何值时,代数式x2+y2-z2达到最大值,并求出这个最大值。

解析：解题思想就是消元法，多元化为一元，把x2+y2-z2转化成只有x的代数式，也可以是一个辅助的参数k的代数式。

两种方法都解答一下：

方法一、由题意，，∴y=-,z=2x;代入x2+y2-z2=-x2-+=-(x+5)2+25,即x=-5时，有最大值25，此时，y=-10，z=-10.方法二、设x=2k+1,y=3k-1,z=4k+2,代入x2+y2-z2=-3k2-18k-2=-3(k+3)2+25，当k=-3，即x=-5，y=-10，z=-10时。原代数式取得最大值25.

方法二本质上属于换元法，步骤多一点，但是换元后都是整数，计算过程不容易出错，对于目前学生普遍计算能力较差的情况下，比较合适。

例4 已知实数x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9，求x+2y+3z的值。

解析，根据消元的思想，可以先把x消去：

x=5-y，代入z2=xy+y-9得

z2=-y2+6y-9=-(y-3)2(两元，但是只有一个方程，第一个应该想到配方法)

即y=3,z=0,x=2,

∴待求式=8。

例5 设a、b、c为正有理数，且满足a+b+c≤4，ab+bc+ac≥4，试证明：下面的三个不等式至少有两个成立：|a-b|≤2，|c-a|≤2，|b-c|≤2.

证明：从已知条件和待证明的内容分析，这应该是一个抽屉原理的模型。

待求证的内容两边平方后得（a-b）2≤4,(c-a)2≤4,(b-c)2≤4,这样基本上思路就出来了：

a+b+c≤4两边平方，得：

a2+b2+c22ab2bc2ac

=[2a2+2b2+2c22ab2bc2ac]+3ab+3bc+3ac

=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2] +3ab+3bc+3ac

≤16；

即：

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤32-6（ab+bc+ac）≤8；①

假设三个不等式中最多一个成立，即其中至少两个绝对值大于2---反证法，逆否命题

显然，当3个式子都大于2时，不等式①不成立，

当其中两个式子大于2时，不妨假设|c-a|>2和|b-c|>2，

那么(a-b)2≤8-(b-c)2-(a-c)2<8-4-4=0，这与平方数的非负性矛盾，

因此命题得证。

四、练一练

1、将一条20cm长的铁丝剪成两段，每段都围成一个正方形，求这两个正方形面积的最小值。

2、若xy=6，x2+y2=12，求证x=y。

3、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求

（1）ab+bc+ac的值；

（2）a4+b4+c4的值。

4、因式分解：a2b2-a2+4ab-b2+1.

5、已知a、b、c、d是整数，那么m=a2+b2，n=c2+d2，求证：mn也可以表示成两个整数的平方和。

6、已知有理数a、b、c满足a+b=8，ab=c2+16，求a2+b2+c2的值。

7、已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a、b、c、d都是正数，求证a=b=c=d。

8、探索、研究:仪器箱按如图所示的方式堆放(自下而上依次为第1层、第2层、……),受堆放条件限制,推放时应符合下列条件:每层维放仪器箱的个数a,与层数n之间满足关系式an=n2-32n+247, n为正整数。

（1）求a5和a6的值。

(2)第n层比第(n+1)层多堆放多少个仪器箱?(用含n的代数式表示)

(3)如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力,请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层,并说明理由;

(4)设每个仪器箱重54N(牛顿),每个仪器箱能承受的最大压力为160N,并且堆放时,每个仪器箱承受的压力是均匀的。

①若仪器箱仅堆放第1,2两层,求第1层中每个仪器箱承受的平均压力;

②在确保仪器箱不被损坏的情况下,仪器箱最多可以堆放几层?为什么?

答案：

1、设一段铁丝长x cm，则另一段为（20-x）cm，则

面积和=[x2+(20—x)2],

用配方法或者不等式都可以证明：当且仅当x=20-x时，即x=10cm时，面积最小12.5cm2；当x=0或者20cm时，面积和最大25cm2。

2、2式减去1式乘以2，得（x-y）2=0，得证。

3、（1）(a+b+c)2= a2+b2+c22ab2bc2ac=1+2(ab+bc+ac)=0，ab+bc+ac=-0.5；

（2）(ab+bc+ac)2=a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2

= a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)

=a2b2+b2c2+a2c2

=0.25

(a2+b2+c2)2= a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+a2c2)= a4+b4+c4+0.5=1;

∴a4+b4+c4=0.5

4、a2b2-a2+4ab-b2+1= a2b2+2ab+1-a2+2ab-b2=(ab+1)2-(a-b)2=(ab+a-b+1)(ab-a+b+1)

5、mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2= a2c2 +b2d2+(a2d2+b2c2)

=(ac+bd)2-2abcd+(ad-bc)2+2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2.证毕。

6、消元法，a=8-b 代入，解得a=b=4，c=0，所求结果为32.

7、移项后得

0=a4+b4+c4+d4-4abcd

=（a2-b2）2+2a2b2+(c2-d2)2+2c2d2-4abcd

=（a2-b2）2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2

命题得证。

8、

（1）a5=112,a6=91

（2）an-an+1= n2-32n+247-[(n+1)2-32(n+1)+247]

=31-2n 用（1）的结果代入，正确。

（3）an>0，由题（2）以及图片信息，an-an+1>0，即31-2n>0，即n最大15，代入表达式得a15=-8，a14=-5，a13=0（初一没有学一元二次不等式，我们可以用这种方法慢慢逼近答案），如果学过一元二次不等式后，n2-32n+247>0，即（n-13）(n-19) >0,即n<13或n>19（舍去），最多12层。

（4）

①第2层共187个，第一层共216个，根据题意187*54N

②这个题目有点复杂，不一定第一层（最下面）所受的压力最大，我们必须经过计算才能得出正确的结果。但是命题人出题时以及他自己解答时应该没有想到这点，因此网上的答案都是错误的或者说不完整的。

由于总共12层，我们不妨把每层数量列出表格